堆的定义

一个完全二叉树中，任意父结点总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点，则为大顶堆（小顶堆）。

堆的数组存储方式

完全二叉树适合采用顺序存储的方式，因此一个数组可以看成一个完全二叉树。

节点编号：树根起，自上层到下层，每层从左至右，给所有结点顺序编号，能得到一个反映整个二叉树结构的线性序列。

编号特点：

从一个结点的编号就可推得其双亲，左、右孩子，兄弟等结点的编号。假设编号为i的结点是ki(1≤i≤n)，则有：

　　①若i>1，则ki的双亲编号为i/2；若i=1，则Ki是根结点，无双亲。

　　②若2i≤n，则Ki的左孩子的编号是2i；否则，Ki无左孩子，即Ki必定是叶子。因此完全二叉树中编号i>n/2的结点必定是叶结点。

　　③若2i+1≤n，则Ki的右孩子的编号是2i+1；否则，Ki无右孩子。

注：ki(0≤i≤n)满足数组下标时,则可能的左右孩子分别为2i+1、2i+2。

堆排序的思想（以大顶堆为例）

利用堆顶记录的是最大关键字这一特性，每一轮取堆顶元素放入有序区，就类似选择排序每一轮选择一个最大值放入有序区，可以把堆排序看成是选择排序的改进。

将初始待排序关键字序列(R0,R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

将堆顶元素R[0]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R0,R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn)；

由于交换后新的堆顶R[0]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R0,R1,R2,......Rn-1)调整为新堆。

不断重复此2、3步骤直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

筛选算法

//最难理解的地方

目标：一个所有子树都为堆的完全二叉树。意思就是这个二叉树只差跟节点不满足堆的结构。//很重要，很重要，很重要

    如下图：

方法：首先将root和它的左右子树的根结点进行比较，把最大的元素交换到root节点；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。

运用：1.在上文提到的堆排序思想，2-3步骤中将无序区调整为堆的时候用到。

          2.初始化堆

初始化堆

从最后一个非叶子节点i（i=n/2,n为节点个数）开始，将以i为根节点的二叉树通过筛选调整为堆。以第一张图为例，编号顺序为8、7、6...1。

从最后一个非叶子节就保证了筛选算法的正确性，因为筛选算法的目标是一个所有子树都为堆的完全二叉树。

java实现堆排序

package sort;     import java.util.Arrays;  import util.MathUtil;  /**   * 通过大顶堆实现堆排序，升序排序   *    */     public class HeapSort {      public static void main(String[] args) {          int[] arr={9,6,12,32,23,11,2,100,85};          sort(arr);          System.out.println(Arrays.toString(arr));      }      //这里将i定义为完全二叉树的根      //将完全二叉树调整为大顶堆,前提是二叉树的根的子树已经为大顶堆。      public static void adjustHeap(int[]a ,int i,int size){          int lChild=2*i+1;        //左孩子          int rChild=2*i+2;        //又孩子          int max=i;                //临时变量          if(i<size/2){            //如果i是叶子节点就结束              if(lChild<size&&a[max]<a[lChild])                  max=lChild;              if(rChild<size&&a[max]<a[rChild])                  max=rChild;              if(max!=i){                  MathUtil.swap(a, max, i);//交换后破环了子树的堆结构                  adjustHeap(a, max, size);//递归，调节子树为堆              }          }      }             //建立堆，堆是从下往上建立的，因为adjustHeap函数是建立在子树已经为大顶堆。      public static void buildHeap(int[]a,int size){              for(int i=size/2;i>=0;i--){//从最后一个非叶子节点，才能构成adjustHeap操作的目标二叉树              adjustHeap(a, i, size);          }              }         //将数组分为两部分，一部分为有序区，在数组末尾，另一部分为无序区。堆属于无序区      public static void sort(int[] arr){          int size=arr.length;          buildHeap(arr, size);          for(int i=size-1;i>0;i--){//i为无序区的长度，经过如下两步，长度递减              //堆顶即下标为0的元素              MathUtil.swap(arr, i, 0);//1.每次将堆顶元素和无序区最后一个元素交换，即将无序区最大的元素放入有序区              adjustHeap(arr, 0, i);   //2.将无顺区调整为大顶堆，即选择出最大的元素。          }      }      }

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